2017-1206 更新
2000 年 9 月至 2004 年 7 月 北京师范大学数学科学学院 本科
2004 年 9 月至 2009 年 7 月 北京大学数学科学学院 直博
2009 年 7 月至今 华南师范大学数学科学学院数学系
2012 年 1 月至 2 月 应沈忠民教授邀请访问印第安那大学普渡大学
印第安纳波利斯分校
https://www.researchgate.net/profile/Changtao_Yu
学术专著
β-deformations and general (α,β)-metrics, monograph, priprint
通过本书，我将系统地展示关于广义 (α,β) 度量的系列结果。
书中将尽可能详尽地讲述如何利用 β 形变进行数理分析的原始想法和方法。
截至2017年12月6日，已撰写175页。
学术报告
2014.05.14 同济大学 (α,β)-norms and general (α,β)-metrics
2015.05.24 福州大学 A class of singular general (α,β)-metrics with constant flag curvate and constant Ricci curvature
2016.06.28 南开大学 Curvature Constancy of Singular Randers Metrics I
2017.07.15 新疆大学 β-deformations and Riemann-Einstein metrics I
2017.11.14 在线报告 Some remarks on Einstein-Randers metrics
2017.12.09 杭州电子科技大学 Some Curvature Properties of Singular Square metrics
这篇文章是本人博士毕业论文的主要内容，大部分结果完成于 2008 年初。在文中，我们给出了 Hilbert 第四问题在 (α,β) 度量范畴内的所有解析解。
文中首次引入了 β 形变的概念，是本人的原创性工作之一。β 形变是一种新的度量形变方法，这种形变由三种不同的形变方式所组成，它们分别是利用一个 1 形式 β 对一个黎曼度量 α 进行的伸缩形变和共性形变，以及对 β 的长度形变。
经典的 Randers 度量导航表示就是一种特殊的 β 形变。然而，对于一般的 (α,β) 度量以及广义 (α,β) 度量，并没有类似于 Randers 度量那样的导航问题的物理背景，因此，β 形变提供了一种统一的方式去处理和广义 (α,β) 度量相关的问题，它是 Randers 度量导航形变的自然推广。β 形变是对已有的分离技巧的有效补充，是研究广义 (α,β) 度量不可替代的研究工具。
本人始终坚信，β 形变是讨论具有标量旗曲率的 Randers 度量的关键。同时，我们希望能够找到 β 形变在传统的黎曼几何领域中的应用。
(α,β) 度量的概念最早是在 1972 年由 M.Matsumoto 引入的，作为一种在代数形式上推广 Randers 度量的特殊 Finsler 度量，它在Finsler几何近四十年尤其是近十几年的发展过程中起了积极的作用。令人不解的是，(α,β) 范数作为一种特殊 Minkowski 范数的几何特征却始终没有得到明确。在这篇文章中，我们首先指出 (α,β) 范数其实就是在对称性上仅次于欧氏范数的 Minkowski 范数。等价地说，其标形(即长度为 1 的向量构成的集合)在仿射意义是一个旋转超曲面，且旋转轴经过原点。
因此，从几何的角度出发我们定义了一类新的 Finsler 度量，称为广义 (α,β) 度量。它就是在流形逐点的切空间上取 (α,β) 范数得到的度量。广义 (α,β) 度量自然地包含了 (α,β) 度量，尽管本人并无意推广 (α,β) 度量。
Berwald 型（平方型）度量 F=(α+β)^2/α 最早在1929 年由 L.Berwald 研究过, 它在 (α,β) 度量的讨论中扮演特殊而重要的角色。文中我们给出了专为 Berwald 型度量量身定制的两种 β 形变方式，在这两种形变下， Berwald 型 Einstein 度量的结构显得十分清晰。
文章给出了在适当的条件下广义 (α,β) 度量是 Einstein 度量的充分必要条件，并解析构造了许多例子，它们分别具有+1，0 和 -1 Ricci 曲率。文中许多讨论是非传统的，其基本想法源于 β 形变。
[05] Changtao Yu, On dually flat Randers metrics, Nonlinear Analysis 95(2014) 255-246
文章利用 β 形变提供了对偶平坦 Randers 度量的一个简明而自然的刻画。结果表明：Randers 度量的对偶平坦性源于黎曼度量的对偶平坦性，而保持该性质的 1 形式具有特殊性质。由此我们引入了一个新的概念：关于对偶平坦黎曼度量对偶相关的 1 形式。文章的主要结果完成于 2009 年夏。
本文是是文章 [05] 的自然延续。文中提供了对偶平坦 (α,β) 度量的一个简明而自然的刻画：对偶平坦的 (α,β) 度量总可以由对偶平坦的黎曼度量及其对偶相关的 1 形式通过 β 形变得到。文章的主要结果完成于 2010 年夏。
本文是是文章 [06] 的自然延续。文章给出了一种解析构造对偶平坦广义 (α,β) 度量的途径。
在引入了广义 (α,β) 度量的概念之后，第一个自然想到的问题便是，能否在其中找到新的具有常旗曲率的度量？这是 2009 年夏天开始考虑的，但是当时的想法还不成熟，我以为只有 Randers 度量、Berwald 度量、Bryant 度量和 Shen 度量四类。这四类都不是新的，因此这个问题就一直搁着。2015 年初，因为不得已的原因重新拾起这个问题，没想到在一个特殊的情形下发现了许多新的常旗曲率度量，分别具有 +1, 0 和 -1 曲率。虽然这些度量都带有一点奇性，但结果还是很漂亮的。
文中我们讨论了带有微弱奇性的奇异 Berwald 型（平方型）度量 F=(bα+β)^2/α 的 Douglas 曲率。与正则 Berwald 型度量最大的区别是，前者具有零 Douglas 曲率时 β 不必是闭的。
一个简单的事实是，Randers 度量 F=α+β 是正则 Finsler 度量当且仅当 b<1。在这篇文章中，我们讨论了没有正则性条件限制下的 Randers 度量。当b<1、b=1 或 b>1 时，相应的 Randers 范数的标形是椭圆型、抛物型或双曲型的超曲面。因此，我们把相应的三类 Randers 度量分别称为椭圆形、抛物型和双曲型 Finsler 度量。显然，抛物型 Finsler 度量即奇异 Randers 度量。这篇文章是作为引入奇异 Randers 度量的第一篇文章，虽然在这里我们关于奇异 Randers 度量的讨论是很有限的。
本文的主要内容是给出三类度量具有常 Ricci 曲率的充分必要条件，从中我们可以看到奇异 Randers 度量与另外两类度量之间存在微妙的差别。
另一方面，双曲型 Finsler 度量和椭圆形 Finsler 度量类似，可以看成某种导航问题的解，只是我们需要将底流形由黎曼流形换成洛伦兹流形。得益于导航问题的背景，双曲型 Finsler 度量具有和椭圆型 Finsler 度量一样简洁的曲率结构。作为例子，我们利用广义相对论中的 Einstein 场方程的一些著名的真空解（包括 Schwarzchild 度量、Kerr 度量、C-度量、Kasner 度量、Levi-Civita 度量和 Cartor-Novotnу-Horsky 度量等）以及相应的相似向量场，构造了一些解析的双曲型 Einstein-Finsler 度量。
此外，我们梳理的关于 1-形式 β 的一组先验公式，以便于今后的研究。
[11] Changtao Yu, Douglas metrics of (α,β) type, submitted, 2018
文章 [1] 的自然延续。文中给出了流形维数大于二的 Douglas (α,β) 度量的局部分类结果。
[12] Changtao Yu, Curvature constancy of parabolic Finsler metrics I, 2018
2015年5月，我突然意识到文章 [8] 中得到的众多新的度量中，有一类度量显得尤为特别。这类度量同样有 F=α+β 的形式，但它却不是正则 Randers 度量，因为其中 β 的长度恒为 1。我把它称为奇异 Randers 度量。正则 Randers 度量的标形是一个椭球型超曲面，而奇异 Randers 度量的标形则是抛物型超曲面面。因此，奇异 Randers 度量也可以被认为是抛物型度量。这是原先从未被开垦过的处女地！
该系列论文的目的是试图给出抛物型度量的曲率结构，包括常旗曲率和常 Ricci 曲率。从目前的结果看，奇异 Randers 度量的曲率结构和正则 Randers 度量存在巨大的差别。其中，最有意思的是，其曲率结构和流形的维数有关。
第一篇文章将给出奇异 Randers 度量是 Einstein 度量的充分必要条件，并给出在 β 是闭共形情形时的分类结果。同时，这也是第一个利用 β 形变的曲率形变公式进行讨论的问题。
[13] Changtao Yu and Hongmei Zhu, Curvature constancy of parabolic Finsler metrics II, 2018
作为该系列的第二篇文章，我们将给出具有奇异 Randers 度量具有常旗曲率的充分必要条件。
[14] Changtao Yu, Singualar Berwald type metrics with constant curvature I, 2018
[15] Changtao Yu, Some remarks on Einstein metrics with closed and conformal 1-forms, 2018
[16] Changtao Yu and Hongmei Zhu, Curvature constancy of parabolic Finsler metrics III, 2019
[17] Changtao Yu, Curvature constancy of parabolic Finsler metrics IV, 2019
[18] Changtao Yu, Singualar Berwald type metrics with constant curvature II, 2019
[19] Changtao Yu, Einstein metric with Killing fields, 2019
[20] Changtao Yu, Deformations and Ricci solitons, 2019
[21] Changtao Yu, Dually flat Riemannian metrics, 2019
[22] Changtao Yu, Randers metrics with scalar flag carvature, 2020
[23] Changtao Yu, Computable Finsler Geometry in the past score years, 2020
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2009-2010学年教学课件 Lectures on Calculus(v1.0)
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2011-2012学年教学课件 Lectures on Calculus(v2.0)
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2014-2015学年教学课件 Lectures on Calculus(v2.3)
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得奖不代表你一定很厉害，不能得奖不代表你一定不厉害；
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题目反映了命题人的品味和局限性，有的题目你没见过不可能会，也不需要会；
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中等难度的题目基本相当于考研较难的题目，有的直接就是考研原题；
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决赛题目并不比预赛题目难；
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如果你没有做任何额外的训练，那么以预赛三等为目标比较现实，大致上需要填空题全拿外加一个大题。